Mathequiz

[TeraBlight]

(Nicht ) Kennt Ihr die Parabel (vielleicht etwas abgehobene Bezeichnung, aber man kann's schon so einordnen) von der Gruppe von Mathematikern und dem einen Ingenieur die das Problem mit den beiden Motorraedern auf Kollisionskurs und der Fliege, die zwischen den beiden hin- und herfliegt, loesen sollen? Wenn ja, versucht mal so wie der Ingenieur zu denken. Wenn nicht, erzaehle sie ich Euch.

[Rabenaas]

Erstens ist es tatsächlich ein Loxodrom.

Die Loxodrome ist eine Kurve auf einer Kugeloberfläche, die immer unter dem gleichen Winkel die Meridiane im Geographischen Koordinatensystem schneidet

Das mögen zwei unterschiedliche Betrachtungsweisen sein, aber den wirklichen Unterschied sehe ich da jetzt irgendwie nicht. Zumindest nicht im Resultat. Der Abstand zum Nordpol strebt gegen Null, wenn man die Anzahl der Umrundungen gegen Unendlich laufen lässt. Die zurückgelegte Strecke strebt gegen einen festen Wert.

Naja, Die Ausgangsfrage war ja, ob unser Reisender (Massepunkt) in endlicher Zeit im Nordpol eintrifft. Wenn die Summe der zurückgelegten Strecken konvergiert, dann (und nur dann) tut er das bei endlicher Reisegeschwindigkeit. Dass sein Abstand zum Nordpol beliebig klein wird, hat keiner bezweifelt. Wenn Deine Formel stimmt, dann ist das geklärt. Selbstverständlich ist das aber nicht.

Kann man das Ganze als eine Art "Abstandsfunktion" auffassen? Dann machen wir aus der Erdoberfläche einfach mal einen metrischen Raum.

Die Erdoberfläche ist eingebettet in den [tex]\white\mathbb{R}^3[/tex]. Ich meinte den euklidischen Abstand vom Reisenden zum Massenpunkt Nordpol. Man kann sie allerdings auch als Mannigfaltigkeit mit eigener Topologie auffassen. (Siehe z.B. hier)

(Nicht ) Kennt Ihr die Parabel (vielleicht etwas abgehobene Bezeichnung, aber man kann's schon so einordnen) von der Gruppe von Mathematikern und dem einen Ingenieur

[TeraBlight]

Es war einmal... eine Gruppe von Mathematikern und ein Ingenieur, die vom Koenig zur Audienz geladen werden. Der Koenig spricht: "Weise Herren, ein Drache bedroht das Reich. Letzte Nacht sprach er zu mir in meinen Traeumen. Er wird alles in Schutt und Asche legen, wenn ich ihm nicht folgende Frage beantworten kann: Zwei Ritter sind anfangs 100 m voneinander entfernt. Sobald ein Signal gegeben wird, reiten sie aufeinander zu, beide mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s. Zum selben Zeitpunkt beginnt eine Fliege, von der Lanzenspitze des einen zum Schild des anderen immer hin und zurueck zu fliegen, mit 10 m/s. Welchen Weg legt die Fliege zurueck, bevor die Ritter aufeinanderprallen und sie zwischen Lanze und Schild zerquetscht wird?
Dem ersten, der das Raetsel loest, gehoere das halbe Koenigreich und die Hand meiner Tochter."

Der Ingenieur gewinnt und lebt gluecklich bis an sein Lebensende - 36 Stunden spaeter, da der Drache entweder nicht Wort hielt oder der Traum des Koenigs einfach nur ein Traum war - da er das Offensichtliche sieht (Weg = Geschwindigkeit * Zeit, Zeit ist bekannt), waehrend die Mathematiker sich mit unendlichen Summen vergnuegen.

Moral: Die Berechnung der konkreten Bahn, der ein Koerper folgt, ist oft nicht notwendig um globale Werte wie Bahnlaenge oder -dauer zu finden.

Tadaah.

[Pergor]

Die Erdoberfläche ist eingebettet in den [tex]\white\mathbb{R}^3[/tex]. Ich meinte den euklidischen Abstand vom Reisenden zum Massenpunkt Nordpol.

Na, ich doch auch. Eine Metrik ist eine Abbildung von einem Raum in die reellen Zahlen, also eine Abbildung, die je zwei Punkten eines Raumes Y einen Abstand zuordnet. Der euklidische Abstand ist nach Definition auch eine Metrik. Oder reden wir aneinander vorbei? Im höherdimensionalen Fall wird es natürlich etwas problematischer, aber im dreidimensionalen Fall ist der Abstand als solcher doch immer noch anschaulich. Und den kann man in Form des Betrags angeben:

[tex] \huge \white M : Y \times \ Y \to \mathbb R [/tex]

[TeraBlight]

Oder reden wir aneinander vorbei?

Der Unterschied ist der zwischen "line of sight" und "line of flight", also Abstand gemessen entlang eines Grosskreises in der sphaerischen und entlang einer Geraden in der euklidischen Geometrie. Da die Geometrien aber ueberall lokal uebereinstimmen, ist er nicht von Belang, wenn es um infinitesimale Annaeherung an einen Punkt geht.

[Rabenaas]

Oder reden wir aneinander vorbei?

Ja, jetzt gehen zwei Themen durcheinander. Der von TeraBlight angesprochene Unterschied gehört zum anderen .

Ich meinte folgenden Unterschied: Der euklidische Abstand konvergiert.
Aber was ist mit der Wegstrecke? Muss der Reisende den Nordpol unendlich oft umrunden, oder reicht endlich oft? Bei unendlich oft dauert es u.U. ein wenig länger.

Wir haben mittlerweile drei Abstände:

1. Luftlinie
   
2. entlang eines Großkreises
   
3. entlang der Spirale
   

1 und 2 haben das selbe Ergebnis. Bei drei bin ich nicht sicher.

[Pergor]

Aber was ist mit der Wegstrecke? Muss der Reisende den Nordpol unendlich oft umrunden, oder reicht endlich oft?

Ist das nicht schon längst geklärt? Vermutlich verstehe ich dich nun schon wieder falsch. Wir sind doch jetzt wieder auf der Loxodrome, oder? Und du willst wissen, ob diese unendlich oder endlich ist? ich zitiere Wikipedia: "Die Loxodrome ist nicht geschlossen". Also ist die Wegstrecke an sich zwar endlich (den Weg hatte ich angegeben) lang, aber wenn der Reisende diese Linie entlang geht, wird er den Nordpol nie erreichen, obwohl er eigentlich nur einen endlich Langen Weg zurückzulegen hat. Weil die Loxodrome eben nie den Nordpol erreicht. Ihr Verlauf lässt das nich zu. Er wird den Nordpol theoretisch betrachtet unendlich oft umrunden müssen und doch nie ankommen. Wohl gemerkt: In der Theorie. Das Prinzip ist doch das gleiche wie bei einer unendlichen Reihe, die konvergiert. Oder meinst du hier wieder was anderes?

Bei unendlich oft dauert es u.U. ein wenig länger.

Dieser Satz verwirrt mich etwas. Was dauert unter Umständen länger als was?

[TeraBlight]

Wir haben mittlerweile drei Abstände:

1. Luftlinie
   
2. entlang eines Großkreises
   
3. entlang der Spirale
   

Heh, das ist ja ein eleganter Aspekt des Problems, ueber den ich so noch gar nicht nachgedacht habe - die Bahn ist ein one-space, eingebettet in den two-space der Erdoberflaeche, eingebettet in den three-space des euklidischen Raums.

Ich gebe mal einen Hinweis: Definiert ist die Bahn im two-space ("Nordosten" bezieht sich auf die Erdoberflaeche), von daher bietet sich eine Parameterisierung in diesem framework an.

"Die Loxodrome ist nicht geschlossen".

Das bedeutet doch nur, dass man auf der Bahn nicht wieder zum Ausgangspunkt zurueckkehrt, oder?

Bei unendlich oft dauert es u.U. ein wenig länger.

Dieser Satz verwirrt mich etwas. Was dauert unter Umständen länger als was?

Ich glaube, ich verstehe, was Rabenaas meint. Es ist moeglich, einen unendlichen one-space in einen endlichen two-space einzubetten, und zwar genau dann wenn der Abstand zwischen zwei "Windungen" des one-spaces gegen Null gehen darf. Von daher ist die Pfadlaenge zum Mittelpunkt einer Spirale wenigstens potentiell unendlich, entgegen der Pfadlaenge entlang einer Bahn mit endlich vielen Windungen, die immer endlich ist. Ja?

ps: Entschuldigt den Sprachsalat...

[Rabenaas]

Ja?

Jawoll ja


(Der eindimensionale Raum könnte sich allerdings im zweidimensionalen auch noch mit sich selbst schneiden (Beispiel Lissajous-Figur). Das spielt hier aber keine Rolle, glaube ich.)

[TeraBlight]

2b, Loesung:

Spoiler

Wie mehrmals angedeutet, ist die Kenntnis der genauen Bahn nicht notwendig. Der Schluessel ist schlicht die Definition der Richtungsangabe "Nordosten": Man macht einen Schritt nach Nordosten, wenn man damit gleiche Entfernungen in Richtung Norden und Osten zuruecklegt. Strenger formuliert betrachten wir ein beliebiges Bahnsegment mit Laenge [tex]\delta[/tex]. Lassen wir [tex]\delta[/tex] gegen Null gehen, wird alles sehr einfach: Die Erdoberflaeche wird euklidisch, damit sind die Basisvektoren Norden und Osten orthogonal und konstant, und damit sind die Komponenten entlang der Basisvektoren jeweils [tex]\frac{\delta}{\sqrt{2}}[/tex]. Wir koennen also ohne Schwierigkeiten die Bahnlaenge als eine Funktion der zurueckgelegten Entfernung nach Norden ausdruecken, und damit per Integration die gesamte Bahnlaenge, da die Bahn zwangslaeufig den Nordpol erreicht, wenn ein viertel des Erdumfangs in Richtung Norden zurueckgelegt wurde. Die Antwort ist somit, wie schon von Pergor angegeben, [tex]L = \frac{U}{2 \sqrt{2}}[/tex]

[Rabenaas]

leuchtet ein

[TeraBlight]

Waaghalsig

Man nehme eine Balkenwaage (siehe unten) und vierzig (40) Kugeln, beschriftet mit den Zahlen 01 bis 40. Alle bis auf eine der Kugeln haben das gleiche Gewicht; es ist nicht bekannt ob die eine schwerer oder leichter als der Rest ist. Finde mit vier (4) Benutzungen der Waage heraus, welche Kugel die Besondere ist.

[Fury]

Ich schaffs gerade nur in 4-5 Schritten, je nachdem

[TeraBlight]

Heute, 23:01

Heute, 23:08

Ich schaffs gerade nur in 4-5 Schritten

Viereinhalb Schritte nach sieben Minuten finde ich einen ordentlichen Anfang!

[Fury]

Ja aber ich komm nicht drunter

EDIT: Hm 40 Kugeln mit 2 möglichen Zuständen? Das sind dann ja schon 80 Möglichkeiten und mit 4 mal wiegen komme ich auf 81 Möglichkeiten. Machbar müsste es also rein theoretisch sein.

[Rabenaas]

Spoiler

1. Messung
Man teilt die 20 Kugeln in vier Gruppen a 5 Kugeln (A,B,C,D) auf, und vergleicht mit der Waage A und B.

2. Messung
Dann ersetzt man B durch D. Man hat nun die Gruppe X=(x1, x2, x3, x4, x5) aus A,B,C oder D mit der ungewöhnlichen Kugel isoliert. Die Waage zeigt nämlich gleich-gleich, gleich-ungleich, ungleich-gleich oder ungleich-ungleich an, und jedem Fall ist eine bestimmte Gruppe zugeordnet. Außerdem weiß man, ob die Kugel schwerer oder leichter ist, je nachdem wie die Waage ausschlägt..

3. Messung
Man legt x1, x2 in die eine Waagschale und x3, x4 in die andere. Zeigt die Waage Gleichstand an, dann ist man fertig. (Es ist x5)

ggf. 4, Messung
Man misst die zwei Kugeln, die zu leicht bzw. zu schwer waren. Fertig.

[TeraBlight]

Heh, das hatte ich ja ganz vergessen...

Man teilt die 20 Kugeln in vier Gruppen a 5 Kugeln (A,B,C,D) auf

Aber es sind doch 40 Kugeln!

Hilfestellung 1:

Spoiler

Leichtere Variante, selbes Prinzip: Zwoelf Kugeln, dreimal wiegen.

Hilfestellung 2:

Spoiler

Die Tatsache, dass die Kugeln numeriert sind, ist wichtig: Es ist unter Umstaenden noetig, Gruppen, die man beim ersten Wiegen gebildet hat, beim zweiten, dritten und vierten Wiegen wieder zu vermischen, ohne dabei schon gewonnene Informationen ueber einzelne Kugeln zu verlieren.

[Asgrimm]

In einer Lehrveranstaltung kann jeder Student 2 rationale Zahlen [0-100] Tippen
Aus allen Zahlen wird der Durchschnitt gebildet, und wer am nächsten bei 2/3 des Durchschnitts ist, hat gewonnen. (Gilt ab 25 Teilnehmern)

Spoiler

Mittlerweile ist in dem anderen Forum auch schon dieser link aufgetaucht.

[Rabenaas]

Ich bin heute morgen auf ein ähnliches Problem (9 gleich aussehende Kugeln und zweimal wiegen) gestoßen. Das hat mich wieder an diesen Thread erinnert. Die Lösung für die 40 Kugeln ist fast genauso simpel ...

Spoiler

... und funktioniert auch ohne Beschriftung und zurücklegen. Die Zahlen waren wohl nur zur Ablenkung da.

Wir partitionieren die Kugeln in zwei Haufen mit 13 und einen mit 14 Kugeln und wiegen die mit 13 gegeneinander auf. Angenommen die Waage zeigt gleiches Gewicht, dann
1) 40 = 13 + 13 + 14
2) 14 = 4 + 4 + 6
3) 6 = 2 + 2 + 2
4) 2 = 1 + 1

Sonst wird der schwerere Haufen mit 13 Kugeln aufgeteilt
1) 40 = 13 + 13 + 14
2b) 13 = 6 + 6 + 1
3b) 6 = 3 + 3
4c) 3 = 1 + 1 + 1

Ist ein 4er-Haufen schwerer, dann
1) 40 = 13 + 13 + 14
2) 14 = 4 + 4 + 6
3c) 4 = 2 + 2
4c) 2 = 1 + 1