Mathequiz

[Rabenaas]

1a

Spoiler

Umfang der Erde
U = 40000km (ungefähr)

Länge des kürzeren Seils
l = U

Durchmesser der Erde
d=U/pi

Durchmesser plus 2m
D=d+2m

Länge des (längeren) Seils
L = D * pi = (d + 2m) * pi = U + 2m * pi

Differenz
L - l = 2m * pi = 6.28...m

EDIT: 2m statt 1m

2

Spoiler

Spirale?

Wenn ich mich geradeaus auf einer Kugel bewege, dann sollte ich keine Spirale gehen.
Vorrausgesetzt, die Kugel dreht sich nicht, also die Corioliskraft wirkt nicht...

Stimmt, Denkfehler von mir.
Du gehst einen Kreis, wenn Du immer geradeaus gehst. Am Norpol kommt man jedenfalls nicht an.

[Edvard]

Bei [...] wirklich geradem Gehen

Das Raetsel sagt "immer nach Nordosten", nicht "immer geradeaus". Ob das ein Unterschied ist, lasse ich erstmal dahingestellt. Jedenfalls ist die Formulierung, abgesehen von Feinheiten wie magnetischem vs. geographischem Pol und Achsenpraezession, sorgfaeltig gewaehlt...

Oh, immer nach Nordosten... Jetzt weiß ich, wo der Hund begraben liegt. Denke ich zumindest...

Unter diesem Gesichtspunkt würd ich sogar sagen, dass

Spoiler

man irgendwann am Nordpol ankommt. Aber wann und wie? Das überlass ich den schlauen Köpfen
Meine vorherige Annahme ist auf jeden Fall falsch, weil, wenn man einen Kreis geht, geht man zwangsweise irgendwann nach Südwest.

[Rabenaas]

@Edvard

Spoiler

Dann doch Spirale. Du kommst zum Nordol, das dauert aber unendlich lange. Dafür ist er die meiste Zeit zum greifen nah...

1b

Spoiler

Die Hälfte der zusätzlichen Strecke (s = (L-l)/2 = pi*1m) ist der Tangens eines Winkels alpha für das rechtwinklige Dreieck (Erdmittelpunkt, Berührungspunkt von Seil mit Erde, Spitze des abgehobenen Seils).
Vom Erdmittelpunkt gesehen, ist der Erdradius (r = d/2 = 20.000km/pi) die Ankathete des Winkels alpha. Dann ist die Hypotenuse minus Erdradius die gesuchte Länge.

r* tan(alpha) = s
=> tan(alpha) = s/r
=> alpha = atan(s/r)

r / cos(alpha) - r
= r * (1/cos(alpha)-1)

Das numerische Ergebnis ist Schrott. Wäre cool, wenn jemand den Fehler findet.

[TeraBlight]

Spoiler

Die Hälfte der zusätzlichen Strecke (s = (L-l)/2 = pi*1m) ist der Tangens eines Winkels alpha für das rechtwinklige Dreieck (Erdmittelpunkt (E), Berührungspunkt von Seil mit Erde (B), Spitze des abgehobenen Seils (S)).

Mit anderen Worten, Deine Annahme ist dass

Spoiler

zusaetzliche Strecke s = Abstand von B zu S

[Rabenaas]

Spoiler

Die Hälfte der zusätzlichen Strecke (s = (L-l)/2 = pi*1m) ist der Tangens eines Winkels alpha für das rechtwinklige Dreieck (Erdmittelpunkt (E), Berührungspunkt von Seil mit Erde (B), Spitze des abgehobenen Seils (S)).

Mit anderen Worten, Deine Annahme ist dass

Spoiler

zusaetzliche Strecke s = Abstand von B zu S

fast, ich meine die Hälfte davon

Spoiler

zusaetzliche Strecke s/2 = Abstand von B zu S
Die zusaetzliche Strecke verteilt sich auf die beiden gleichen Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks BSB'

[TeraBlight]

fast, ich meine die Hälfte davon

Okay, ich druecke mich klarer aus: Die Annahme ist prinzipiell falsch.

[Fury]

Geht doch alle weg! Mit sowas quälen die einen jahrelang im Physik Studium

[Rabenaas]

Okay, ich druecke mich klarer aus: Die Annahme ist prinzipiell falsch.

Argh

Geht doch alle weg! Mit sowas quälen die einen jahrelang im Physik Studium

Das ist elementare Geometrie. Ein gutes Feld um sich zu blamieren. Also auf ein neues

2b 1b

Spoiler

Man betrachtet den Querschnitt der Erde (einen Kreis mit Umfang 40.000km). Der Umfang des Seils ist U=40000km+6,28m. Die beiden Punkte B und B', wo das abgehobene Seil gerade noch die Erde berührt und der Erdmittelpunkt M bilden ein Dreieck (B,B',M). An M liegt der Winkel alpha, der die Gleichung (r = Erdradius)
(Kreissegment ohne alpha) + Seilüberschuss = U
=> r * (2*pi - alpha) + 2 * r * tan(alpha/2) = U
=> 2 * tan(alpha/2) - alpha = 2*pi / r
erfüllt. Dann ist alpha = 0,0228.

Die gesuchte Strecke ist
s = r * (1/cos(alpha) - 1) = 1655 m
s = r * (1/cos(alpha/2) - 1) = 414 m

[TeraBlight]

Geht doch alle weg! Mit sowas quälen die einen jahrelang im Physik Studium

Nah, wenn ich jemanden haette quaelen wollen, haette ich auf McLaurin fuer den numerischen Teil bestanden.

2b 1b

Interessant, ich hatte einen konzeptionell anderen Ansatz verwendet

Spoiler

( Ueberschuss = Unterschied zwischen Bogen r*alpha und geraden Seilsegmenten )

was aber natuerlich aufs selbe rauskommt. Im letzten Schritt hast Du einen Faktor 1/2 vergessen, ansonsten stimmt das Ergebnis mit dem, an das ich mich erinnere, ueberein.

[TeraBlight]

2a

Spoiler

Südpol?

Es gibt noch mindestens eine weitere Loesung.

2b

Spoiler

Dann doch Spirale. Du kommst zum Nordol, das dauert aber unendlich lange. Dafür ist er die meiste Zeit zum greifen nah...

Und Achilles holt die Schildkroete nie ein?

[Rabenaas]

Es gibt noch mindestens eine weitere Loesung.

klar

Spoiler

jeder Punkt ein km südlich des Breitengrades mit 1km Umfang

Und Achilles holt die Schildkroete nie ein?

Jedenfalls nicht wenn er auf einem schlanken Fuß unterwegs ist.

[TeraBlight]

Spoiler

jeder Punkt ein km südlich des Breitengrades mit 1km Umfang

Und Achilles holt die Schildkroete nie ein?

Spoiler

Achilles holt die Schildkroete in endlicher Zeit ein, obwohl er eine unendliche Anzahl von Teilstrecken zuruecklegen muss - und zwar, weil die Teilstrecken unendlich klein werden. Meiner Meinung nach trifft das entsprechende Argument auch auf dieses Raetsel zu.

[Alpha Zen]

Jetzt muss er nur versuchen, zu überholen

[Rabenaas]

Meiner Meinung nach trifft das entsprechende Argument auch auf dieses Raetsel zu.

Spoiler

Unendlich klein allein ist aber nicht das Entscheidende. Bei Achilles wird eine Reihe verwendet, die konvergiert. Bei der harmonischen Reihe werden die Glieder auch unendlich klein, und sie divergiert trotzdem. Der Abstand vom Nordpol wird sicher infinitesimal klein. Ob er irgendwann verschwindet, bezweifle ich noch. Um die Reihe der zurückgelegten Wegstrecken auf Konvergenz zu prüfen, habe ich heute aber keine Zeit.

Wer möchte kann sich daran gerne austoben. Fury! FURY!!!

[TeraBlight]

Spoiler

Bei Achilles wird eine Reihe verwendet, die konvergiert.

Was ist nochmal der Unterschied zwischen Folge und Reihe, bzw. welches ist welches? Sorry, Mathe auf Deutsch ist bei mir mittlerweile lange her.

[Fury]

Folge = sequence

Reihe = series

[Rabenaas]

Folge: [tex]\white (x_i)_{i\in\mathbb{N}}[/tex]

Reihe: [tex]\white \sum_{i\in\mathbb{N}}x_i[/tex]

(die Schreibweise bei der Reihe ist selbstverständlich symbolisch )

EDIT: Der böse Wolf war mal wieder schneller.

[Pergor]

Wer möchte kann sich daran gerne austoben.

Also wer sich daran versucht, benötigt schon gewisse Langeweile und viel Freizeit. Das ist kein Problem nur für einen kaputten Abend. Die Aufgabe ist ja im Grunde das Prinzip der Loxodrome. (Wikipedia hilft). Oder ist das Stichwort hier schon gefallen? Bei all den Spoilern übersieht man gerne mal was.

Jedenfalls hast du Recht, Rabenaas, im Grunde ist das eine unendliche Reihe, die auch streng mathematisch betrachtet definitiv konvergiert (im praktischen Fall sähe das wohl anders aus).

So wie ich das verstanden habe, kann man das so ausrechnen:

Man betrachtet die beiden involvierten Punkte (in diesem Fall wählt man Äquatorpunkt A und Nordpolpunkt N) mit den Koordinaten:

[tex]\white \huge A = ( \lambda_A \, , \, \phi_A ) [/tex]
[tex]\white \huge N = ( \lambda_N \, , \, \phi_N ) [/tex]

Wenn man den Winkel [tex]\white \huge \eta [/tex] der Loxodrome kennt, kann man die Länge L der Strecke, die man auf der Loxodrome zurücklegt, berechnen:

[tex]\white \huge L = \frac{\phi_N - \phi_A}{\eta}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,(1) [/tex]

Wie man nun explizit - um beim Beispiel zu bleiben - das Ganze ausrechnet, wenn man zwischen Äquator und Nordpol diese "konvergente unendliche Strecke" berechnet - keine Ahnung! Würde man das in Form einer unendlichen Reihe darstellen wollen, müsste man wohl schauen, wie sich pro "Umrundung" die Streckenlänge verhält. Dann könnte man über diese unendlich vielen Umrundungen aufsummieren. Bei Gleichung (1) weiß ich jetzt auch nicht ganz genau, ob das der endgültige (Grenz-)Wert ist oder nicht.

Diese Bahngleichung habe ich noch gefunden:

[tex] \huge \white \lambda = \ln \left(\tan \left(45* + \frac{\phi}{2} \right) \right) \cdot \frac{180*}{\pi} [/tex]

Sieht ziemlich abenteuerlich aus. Die beschreibt halt die Lage der Loxodrome, wobei jeder geographischen Länge Lambda halt eine geographische Breite Phi zugeordnet wird. Anmerkung: Bei mir ging das Gradzeichen in der Latexumgebung irgendwie nicht. Das Sternchen steht für Grad (degree).

[Rabenaas]

Jedenfalls hast du Recht, Rabenaas, im Grunde ist das eine unendliche Reihe, die auch streng mathematisch betrachtet definitiv konvergiert (im praktischen Fall sähe das wohl anders aus).

Vorsicht, es gibt da zwei Arten von Konvergenz. Einmal die Reihe der zurückgelegten Strecken (so ähnlich wie bei Achilles). Das hatte ich mit konvergenter Reihe gemeint.
Dann gibt es noch die topologische Konvergenz der Spirale gegen einen Punkt (Im Sinn einer Folge von Abständen bzw. Umgebungen). Das meinst Du damit, vermute ich.

Da fällt mir eine andere Formulierung ein: Ist die Spirale bijektiv zu einem abgeschlossenen Intervall oder einem halboffenen? (OMG, habe ich das gerade wirklich geschrieben? )

Mit Loxodromen hat es sicher etwas zu tun. Damit kenne ich mich aber nicht wirklich aus.

[Pergor]

Vorsicht, es gibt da zwei Arten von Konvergenz. Einmal die Reihe der zurückgelegten Strecken (so ähnlich wie bei Achilles). Das hatte ich mit konvergenter Reihe gemeint. Dann gibt es noch die topologische Konvergenz der Spirale gegen einen Punkt (Im Sinn einer Folge von Abständen bzw. Umgebungen). Das meinst Du damit, vermute ich.

Das mögen zwei unterschiedliche Betrachtungsweisen sein, aber den wirklichen Unterschied sehe ich da jetzt irgendwie nicht. Zumindest nicht im Resultat. Der Abstand zum Nordpol strebt gegen Null, wenn man die Anzahl der Umrundungen gegen Unendlich laufen lässt. Die zurückgelegte Strecke strebt gegen einen festen Wert. Genauer gesagt gegen:

[tex]\white \huge L = \frac{\pi R }{\sqrt{2}} \approx 14135 \text{km}[/tex]

Zumindest wenn ich dem Glauben schenken kann (eine Rechnung stand nicht dabei). Bei der Reihe der zurückgelegen Strecken wird doch auch über ebenjene aufsummiert und damit als Grenzwert die Gesamtstrecke betrachtet. Die Gesamtlänge der Spirale ist doch nichts anderes als eben diese unendliche Reihe von Teilstrecken aufsummiert.

Was die Bijektivität angeht: Ich würde ja zu einem halboffenen tendieren. Kann man das Ganze als eine Art "Abstandsfunktion" auffassen? Dann machen wir aus der Erdoberfläche einfach mal einen metrischen Raum. So dass jedem Punkt auf der Bahn (siehe Bahngleichung) ein Abstand zum Punkt N (Nordol) zugeordnet wird? Abgeschlossen kann's dann ja eigentlich nicht sein, es muss ja jeder Wert der Zielmenge dafür angenommen werden. Das wäre hier ja nicht der Fall. d(x,N)=0 würde ja nicht erreicht werden.