HELP-Thread für Schule und Studium

[Fury]

Du musst schon [tex] tags drummachen Jacky...

Ich glaube son komplizierten Kram wie transponiert usw. hatten die noch gar nicht

[JackyD]

Transponiert ist nicht kompliziert, zumindest nicht bei Vektoren. Die "kippst" doch nur den Spaltenvektor in einen Zeilenvektor.

Zeilenvektor MAL Spaltenvektor = Skalar.

[Fury]

Ja aber,





2 Wochen im ersten Semester, davon eine warscheinlich zur Orientierung und so....

[JackyD]

Oh ha. Ich hab nur MatheUni gelesen. Da ich selbst nicht Mathe studiert habe, dachte ich, es wäre kein Problem. In Vektorschreibweise ist es halt eine schöne Gleichung die man einfach auf a=b umformen kann. Wenns Pergor nicht lesen kann, muß ich es halt anders versuchen.

Ach ja, das mit den [tex]-Tags wußte ich noch nicht. Danke Fury.

[Pergor]

Richtig, das hatten wir noch nicht. Ergo dürfen wir solche Sachen auch nicht benutzen. Da weiß Fury wahrscheinlich besser Bescheid, was das angeht. Ja, dass a) richtig und b) falsch ist, hatte ich auch vermutet. Hätten wir ja immerhin schon mal das geklärt.

Zu b): Das heißt also, dass aus dieser Gleichung nur folgt, dass 0=0 ist, man daraus (unabhängig davon, ob das nun letztendlich stimmen würde oder nicht) nicht zwangsläufig schlussfolgern kann, dass a=b gilt? Denn es ist ja auch nicht bewiesen, dass a ungleich b ist, oder? Die Gleichung dient nur nicht als Beweis für die Behauptung a=b, richtig?

ZU a) fehlt mir immer noch irgendwie ein Ansatz... naja ich schau mal, was sich mit deinem Satz machen lässt. Vielleicht fällt mir ja doch was ein...

Danke schon mal für die Hilfe.

[Fury]

Also was meinst du zu Aufgabe b)

Wenn ich recht habe und die Behauptung falsch ist, dann kann ich ja ein beliebig einfaches Gegenbeispiel verwenden. Also sagen wir einfach mal wie nehmen nicht [tex]\white R^n[/tex] sondern zB [tex]\white R^2[/tex]. Dann haben wir einfach einen zweidimmensionalen Vektor. Statt [tex]\white x_1, x_2[/tex] kann ich die dann auch x und y nennen. Dann versteht man vieleicht leichter was das ist. [tex]\white a_1, a_2[/tex] ist dann auch ein einfacher 2D-Vektor. [tex]\white a_1x_1, a_2x_2[/tex] ist das Produkt dieser Vektoren. ist der [tex]\white x_1, x_2[/tex] der Nullvektor (was nach dem Def. Bereich erlaubt ist) so ist [tex]\white a_1x_1, a_2x_2 = 0[/tex]. Das selbe gilt natürlich auch für b. Es folgt also: [tex]\white a_1x_1, a_2x_2 = b_1x_1, b_2x_2 = 0[/tex]
Allerdings kann ich [tex]\white a_1, a_2, b_1, b_2[/tex] Nun beliebig aus R wählen, da das ganze eh immer Null ist. Somit gilt nicht a=b


EDIT: zu Pergors Beitrag, den er geschrieben hat, wärent ich mit dem hier beschäftigt war
Nein du musst wenn du glaubst, dass etwas unwahr ist EIN Gegenbeispiel bringen. Es ist immer viel einfacher etwas zu wiederlegen als zu beweisen. Ein Beweis muss allgemeingültig sein. Ein Gegenbeweis muss nur zeigen, dass die Aussage nicht IMMER gilt... Ich zeige lediglich auf, dass es einen Fall gibt indem a nicht = b ist... (am besten betrachtest du lieber das hier oben als meinen anderen Beitrag, der doch etwas kurz war...)

[JackyD]

Fury hat das anders gemeint und auch hingeschrieben.

Wenn x = 0 dann ist sowohl x_1 * a_n + .. + x_n * a_n = 0 also auch
x_1 * a_n + .. + x_n * a_n = 0 unabhängig von a und b bzw für beliebiges a und b. Das heißt insbesondere auch für b]a[/b] nicht gleich b.

Edit: @Fury: mit vorhergehenden Post warst Du zwar schneller, aber verstehen tu ich ihn nicht. Was sollen die ganzen ","? In 2D hättest Du: x_1 * a_1 + x_2 * a_2 soll gleich 0 sein (nicht Null-Vektor sondern das Skalar 0). Usw.

[Fury]

Tja was a) angeht denken wir glaub ich mal alle zu kompliziert...

Also im Grunde steht da ein a-Vektor mal nen x-Vektor...
und ein b-Vektor mal den selben x-Vektor

Schreibst du das ganze vektoriell als Gleichung, kannst du glaub ich einfach den x-Vektor rauskürzen... dann bleibt da nur noch genau a=b stehen... a ist ja nichts anderes als [tex]\white (a_1, a_2, ...,a_n)[/tex]
nur so ne Idee... vieleicht ZU einfach gedacht

[JackyD]

@Fury: aber genau das habe ich ja hingeschrieben. Allerdings mußt Du aufpassen. x darfst Du nur herauskürzen wenn x nicht der Null-Vektor ist (sonst Div. by Zero). UND immer schön Zeilenvektor MAL Spaltenvektor rechnen. Und schon hast Du das, was ich hingeschrieben habe.

[Pergor]

Ja, soweit habe ich das verstanden. Aber dann muss ja Behauptung a) richtig sein. Aber in a) kann ich doch (laut Definitionsbereich) auch für alle x einfach 0 einsetzen.

Dann steht da (a1*0+a2*0 ... +an*0) = (b1*0+b2*0 ... +bn*0). Und diese Aussage wäre ja auch erfüllt, wenn a ungleich b ist, weil die Summe auf beiden Seiten letztendlich auch wieder 0 ergeben würde (wegen a*0=0 und so...).

Die Idee, einfach für alle x 0 einzusetzen, ist ja nicht schlecht, nur kann ich das doch sowohl für a), als auch für b) verwenden, oder nicht? Wo liegt da der Unterschied? Wie gesagt, eine der beiden Behauptungen muss ja richtig sein.

Ich bin verwirrt...

[JackyD]

Hi Pergor. Ich werde es jetzt ganz genau für Dich ausformulieren. Dazu brauche ich aber ein wenig. Also bis zu meinem nächsten Post in ein paar Minuten.

[Fury]

Hmz ich auch

[JackyD]

@Fury: Wie geht das nochmal mit dem tex genau. Ich bekomms nicht hin.

[JackyD]

Vergiß alles, was ich vorher geschrieben habe.

Zuerst einige Definitionen:

Für einen Vektor [tex]\white (v_1, ..., v_n)[/tex] schreibe ich [tex]\white \vec{v}[/tex]; das ist ein Zeilenvektor.

Für einen Spaltenvektor schreibe ich [tex]\white \vec{v}'[/tex] (das Prime schreibe ich jetzt, damit ich das böse T nicht verwende). Mit Spaltenvektor meine ich, daß [tex]\white {v_1}[/tex] bis [tex]\white v_n[/tex] nicht nebeneinander, sondern untereinander stehen, also: [tex]\white \left(\begin{array}{c}v_1\\ \vdots \\ v_n\end{array}\right)[/tex]

[tex]\white \cdot[/tex] ... ist eine ganz "normale" Multiplikation, wie in [tex]\white 3 \cdot 5 = 15[/tex].

Wenn man einen Zeilenvektor [tex]\white \vec{x}[/tex] mit einem Spaltenvektor [tex]\white \vec{a}'[/tex] multipliziert, ist das Ergebnis ein Skalar (ein ganz normaler Zahlenwert), nämlich:
[tex]\white x_1 \cdot a_1 + x_2 \cdot a_2 + ... + x_n \cdot a_n[/tex]

Für einen ZeilenVektor [tex] \white (0, ..., 0)[/tex] schreibe ich [tex]\white \vec{0}[/tex]. (bzw [tex]\white \vec{0}'[/tex] wenns ein Spaltenvektor sein soll)

Alles klar soweit? Das ist wirklich wichtig. Korrekte Definition ist die halbe Lösung.




Edit: Ich warte jetzt mal so lange, bis Pergor postet, daß die Definitionen klar sind. Erst dann gehts weiter.

Edit2: Jetzt funzt tex. also habe ich es vertext Danke Fury.

Edit3: Die Vektorschreibweise angepasst. Das "Bold" war mit den tex-Bildern nicht mehr zu erkennen.

[Fury]

Jop genau so!

Also für tex machst du
[tex]\white a_1[/tex <--- da muss noch ne ] hin aber dann macht er das ja

[JackyD]

Generell gilt

[tex]\white \vec{x} \cdot \vec{a}' = (x_1, ..., x_n) \cdot \left(\begin{array}{c}a_1\\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) = x_1 \cdot a_1 + \ldots + x_n \cdot a_n[/tex]

Also mal zu b):

In der Angabe steht das wenn für irgendein [tex]\white \vec{x}[/tex] sowohl [tex]\white \vec{x} \cdot \vec{a}' = 0[/tex] als auch [tex]\white \vec{x} \cdot \vec{b}' = 0[/tex] dann ist [tex]\white \vec{a} = \vec{b}[/tex].

Anders hingeschrieben: wenn
[tex]\white (x_1, ..., x_n) \cdot \left(\begin{array}{c}a_1\\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) = x_1 \cdot a_1 + \ldots + x_n \cdot a_n = 0[/tex] und [tex]\white (x_1, ..., x_n) \cdot \left(\begin{array}{c}b_1\\ \vdots \\ b_n\end{array}\right) = x_1 \cdot b_1 + \ldots + x_n \cdot b_n = 0[/tex] dann [tex]\white \vec{a} = \vec{b}[/tex].

Da [tex]\white \vec{x} = (x_1, ..., x_n)[/tex] beliebig aus [tex]\white R^n[/tex] kann [tex]\white \vec{x}[/tex] auch der Nullvektor [tex]\white \vec{0} = (0, ..., 0)[/tex] sein.

Aber: [tex]\white \vec{0} \cdot \vec{v}' = (0, ..., 0) \cdot \left(\begin{array}{c}v_1\\ \vdots \\ v_n\end{array}\right) = 0 \cdot v_1 + \ldots + 0 \cdot v_n = 0[/tex] gilt für alle [tex]\white \vec{v} = (v_1, ..., v_n)[/tex] aus [tex]\white R^n[/tex], also können [tex]\white \vec{a} = (a_1, ..., a_n)[/tex] und [tex]\white \vec{b} = (b_1, ..., b_n)[/tex] beliebig sein, insbesondere [tex]\white \vec{a} \neq \vec{b}[/tex].


Den Definitionspost muß ich noch mit [tex]\white \vec{a}[/tex] für Zeilenvektoren anpassen (das Bold sieht man einfach viel zu schlecht).

[JackyD]

Ich denke ich weiß jetzt auch, wie Dein Prof. das a) gerne hätte. Eine Argumentation über die Einheitsvektoren. Damit keine Mißverständnisse aufkommen, eine kurze Definition:
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit lauter 0 außer genau einer einzigen 1.

Ich schreibe für den ersten Einheitsvektor also [tex]\white \vec{e_1} = (1, 0, \ldots, 0)[/tex], für den 2ten [tex]\white \vec{e_2} = (0, 1, 0, \ldots, 0)[/tex], ..., für den (n-1)ten [tex]\white \vec{e_{n-1}} = (0, \ldots, 0, 1, 0)[/tex] und für den (n)ten [tex]\white \vec{e_n} = (0, 0, \ldots, 0, 1)[/tex].


Nun zu a):

[tex]\white (a_1 \cdot x_1 + \ldots + a_n \cdot x_n) = (b_1 \cdot x_1 + \ldots + b_n \cdot x_n)[/tex] muß für alle [tex]\white (x_1, \ldots, x_n)[/tex] gelten. Also natürlich auch für alle [tex]\white n[/tex] Einheitsvektoren.


Wenn [tex]\white \vec{x}[/tex] der erste Einheitsvektor ist, also [tex]\white \vec{x} = (1, 0, \ldots, 0)[/tex], lautet die Formel:
[tex]\white (a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 0 + \ldots + a_n \cdot 0) = (b_1 \cdot 1 + b_2 \cdot 0 + \ldots + b_n \cdot 0) \Rightarrow a_1 = b_1[/tex].


Wenn [tex]\white \vec{x}[/tex] der n-te Einheitsvektor ist, also [tex]\white \vec{x} = (0, \ldots, 0, 1)[/tex], lautet die Formel:
[tex]\white (a_1 \cdot 0 + \ldots + a_{n-1} \cdot 0 + a_n \cdot 1) = (b_1 \cdot 0 + \ldots + b_{n-1} \cdot 0 + b_n \cdot 1) \Rightarrow a_n = b_n[/tex].


Und für die restlichen Einheitsvektoren gilt das selbe.


Wenn also [tex]\white (a_1 \cdot x_1 + \ldots + a_n \cdot x_n) = (b_1 \cdot x_1 + \ldots + b_n \cdot x_n)[/tex] für alle [tex]\white (x_1, \ldots, x_n)[/tex] gilt, heißt das, da es dann insbesondere für die Einheitsvektoren gelten muß, daß:

[tex]\white a_1 = b_1[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_1}[/tex]),

[tex]\white a_2 = b_2[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_2}[/tex]),

[tex]\white a_3 = b_3[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_3}[/tex]),

...,

[tex]\white a_{n-1} = b_{n-1}[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_{n-1}}[/tex]) und

[tex]\white a_n = b_n[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_n}[/tex]).


Und das bedeutet natürlich daß [tex]\white \vec{a} = \vec{b}[/tex] sein muß.


Das war jetzt natürlich die ganz ausführliche Variante. Ich hoffe es ist so verständlich.

Schön langsam mag ich dieses tex-Tag

[Fury]

Ja wenn man erst mal hinter Latex oder tex oder was auch immertex gestiegen ist, macht es fast spass Endlich nicht mehr am PC Formeln verklausulieren die man per Hand in Sekunden fertig macht....

[JackyD]

Naja, da ich in der Forschung auf der Uni arbeite, ist LaTeX natürlich muß für mich und auch das einzig Wahre.

[Fury]

Jup Protokolle usw ohne Latex werden bei uns schon gar net mehr angenommen...