27.10.2007, 17:14
Ich denke ich weiß jetzt auch, wie Dein Prof. das a) gerne hätte. Eine Argumentation über die Einheitsvektoren. Damit keine Mißverständnisse aufkommen, eine kurze Definition:
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit lauter 0 außer genau einer einzigen 1.
Ich schreibe für den ersten Einheitsvektor also [tex]\white \vec{e_1} = (1, 0, \ldots, 0)[/tex], für den 2ten [tex]\white \vec{e_2} = (0, 1, 0, \ldots, 0)[/tex], ..., für den (n-1)ten [tex]\white \vec{e_{n-1}} = (0, \ldots, 0, 1, 0)[/tex] und für den (n)ten [tex]\white \vec{e_n} = (0, 0, \ldots, 0, 1)[/tex].
Nun zu a):
[tex]\white (a_1 \cdot x_1 + \ldots + a_n \cdot x_n) = (b_1 \cdot x_1 + \ldots + b_n \cdot x_n)[/tex] muß für alle [tex]\white (x_1, \ldots, x_n)[/tex] gelten. Also natürlich auch für alle [tex]\white n[/tex] Einheitsvektoren.
Wenn [tex]\white \vec{x}[/tex] der erste Einheitsvektor ist, also [tex]\white \vec{x} = (1, 0, \ldots, 0)[/tex], lautet die Formel:
[tex]\white (a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 0 + \ldots + a_n \cdot 0) = (b_1 \cdot 1 + b_2 \cdot 0 + \ldots + b_n \cdot 0) \Rightarrow a_1 = b_1[/tex].
Wenn [tex]\white \vec{x}[/tex] der n-te Einheitsvektor ist, also [tex]\white \vec{x} = (0, \ldots, 0, 1)[/tex], lautet die Formel:
[tex]\white (a_1 \cdot 0 + \ldots + a_{n-1} \cdot 0 + a_n \cdot 1) = (b_1 \cdot 0 + \ldots + b_{n-1} \cdot 0 + b_n \cdot 1) \Rightarrow a_n = b_n[/tex].
Und für die restlichen Einheitsvektoren gilt das selbe.
Wenn also [tex]\white (a_1 \cdot x_1 + \ldots + a_n \cdot x_n) = (b_1 \cdot x_1 + \ldots + b_n \cdot x_n)[/tex] für alle [tex]\white (x_1, \ldots, x_n)[/tex] gilt, heißt das, da es dann insbesondere für die Einheitsvektoren gelten muß, daß:
[tex]\white a_1 = b_1[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_1}[/tex]),
[tex]\white a_2 = b_2[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_2}[/tex]),
[tex]\white a_3 = b_3[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_3}[/tex]),
...,
[tex]\white a_{n-1} = b_{n-1}[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_{n-1}}[/tex]) und
[tex]\white a_n = b_n[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_n}[/tex]).
Und das bedeutet natürlich daß [tex]\white \vec{a} = \vec{b}[/tex] sein muß.
Das war jetzt natürlich die ganz ausführliche Variante. Ich hoffe es ist so verständlich.
Schön langsam mag ich dieses tex-Tag
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit lauter 0 außer genau einer einzigen 1.
Ich schreibe für den ersten Einheitsvektor also [tex]\white \vec{e_1} = (1, 0, \ldots, 0)[/tex], für den 2ten [tex]\white \vec{e_2} = (0, 1, 0, \ldots, 0)[/tex], ..., für den (n-1)ten [tex]\white \vec{e_{n-1}} = (0, \ldots, 0, 1, 0)[/tex] und für den (n)ten [tex]\white \vec{e_n} = (0, 0, \ldots, 0, 1)[/tex].
Nun zu a):
[tex]\white (a_1 \cdot x_1 + \ldots + a_n \cdot x_n) = (b_1 \cdot x_1 + \ldots + b_n \cdot x_n)[/tex] muß für alle [tex]\white (x_1, \ldots, x_n)[/tex] gelten. Also natürlich auch für alle [tex]\white n[/tex] Einheitsvektoren.
Wenn [tex]\white \vec{x}[/tex] der erste Einheitsvektor ist, also [tex]\white \vec{x} = (1, 0, \ldots, 0)[/tex], lautet die Formel:
[tex]\white (a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 0 + \ldots + a_n \cdot 0) = (b_1 \cdot 1 + b_2 \cdot 0 + \ldots + b_n \cdot 0) \Rightarrow a_1 = b_1[/tex].
Wenn [tex]\white \vec{x}[/tex] der n-te Einheitsvektor ist, also [tex]\white \vec{x} = (0, \ldots, 0, 1)[/tex], lautet die Formel:
[tex]\white (a_1 \cdot 0 + \ldots + a_{n-1} \cdot 0 + a_n \cdot 1) = (b_1 \cdot 0 + \ldots + b_{n-1} \cdot 0 + b_n \cdot 1) \Rightarrow a_n = b_n[/tex].
Und für die restlichen Einheitsvektoren gilt das selbe.
Wenn also [tex]\white (a_1 \cdot x_1 + \ldots + a_n \cdot x_n) = (b_1 \cdot x_1 + \ldots + b_n \cdot x_n)[/tex] für alle [tex]\white (x_1, \ldots, x_n)[/tex] gilt, heißt das, da es dann insbesondere für die Einheitsvektoren gelten muß, daß:
[tex]\white a_1 = b_1[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_1}[/tex]),
[tex]\white a_2 = b_2[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_2}[/tex]),
[tex]\white a_3 = b_3[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_3}[/tex]),
...,
[tex]\white a_{n-1} = b_{n-1}[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_{n-1}}[/tex]) und
[tex]\white a_n = b_n[/tex] sein muß (wegen [tex]\white \vec{e_n}[/tex]).
Und das bedeutet natürlich daß [tex]\white \vec{a} = \vec{b}[/tex] sein muß.
Das war jetzt natürlich die ganz ausführliche Variante. Ich hoffe es ist so verständlich.
Schön langsam mag ich dieses tex-Tag
"Research is like sex: sometimes something useful is produced, but that's not why we do it." -- Richard Phillips Feynman, Physiker und Nobelpreisträger, 1918-1988