Mathequiz

[Hupf]

So, nach einem Vorschlag von Pergor (bitte nicht mich schlagen!) hier nun ein Mathematik-Thread für allerlei interessante Knobeleien. Starre Regeln finde ich doof, daher muss das "übliche" erst mal reichen:

• Wer die Antwort weiß (entweder beweisen kann oder vom Fragesteller bestätigt bekommt), darf die nächste Aufgabe stellen
  
• Nach Ermessen des Fragestellers können nach und nach Hinweise zur Lösung gegeben werden
  
• Ist die Aufgabe zu schwierig und/oder meldet sich der Fragesteller lange nicht mehr, wird zwanglos zum nächsten übergegangen.

Ich beginne mit etwas, das mich in der Oberstufe die Pausen (nein, natürlich NICHT den Erdkundeunterricht) über gern unterhalten hat: man male eine Funktion hin und versuche, eine möglichst gut passende und einfache explizite Darstellung für sie zu finden. Da ich ganz fürchterlich zeichne, habe ich hier mal gnuplot hergenommen und folgende Schönheit erschaffen:


Wer die zugrunde liegende Funktion errät (sie ist ausschließlich aus bekannten elementaren Funktionen wie den trigonometrischen, der Exponentialfunktion, ihrer Umkehrfunktionen, dem Betrag, etc. zusammengesetzt), kann dies durch einen weiteren Plot oder Angabe der Funktion zeigen. Mit hübsch aussehenden Näherungslösungen können Hinweise "erkauft" werden

Tipps:

• [tex]\white \lim\limits_{x=0} f(x) = -\infty[/tex]
  
• [tex]\white \lim\limits_{x=a} f(x) = \infty[/tex], dabei ist [tex]\white a\approx 3[/tex] eine numerische Konstante, die später möglicherweise genauer angegeben wird
  
• [tex]\white \lim\limits_{x=0\\x>0} \frac{\partial f(x)}{\partial x} = \infty[/tex]
  
• [tex]\white \lim\limits_{x=a\\x<a} \frac{\partial f(x)}{\partial x} = \infty[/tex].
  

[Fury]

sieht mir wir arcus oder hyperbolicus Funktionen aus

[Pergor]

Das Ding errate ich persönlich jedenfalls in 100 Jahren nicht...

Da der Graph offensichtlich für x=0 nicht definiert ist, wird wohl in irgendeiner Form ein [tex]\white \frac {1}{x} [/tex] drin stecken...

[Fury]

könnte auch nen delta peak sein

[Hupf]

Achso, einen Hinweis noch, damit obige Formulierung nicht verwirrt: die "numerische Konstante" a wurde keinesfalls willkürlich von mir gewählt, sondern ergibt sich aus den Eigenschaften der verwendeten Funktionen.

[Fury]

Ungefähr = 3? Doch wohl nicht etwa = 3,141592654...

[Hupf]

Ungefähr = 3? Doch wohl nicht etwa = 3,141592654...

Nein, eher so um die 3.04. Mehr Stellen gibts aber erst nach einem annähernden Versuch - ich möchte auch was zum lachen haben

[Hupf]

Okay, vielleicht ist die Aufgabe wirklich etwas arg, wenn man nicht total verrückt ist und so etwas als Hobby veranstaltet. Ich lasse mal den kompletten Satz verbliebener Hinweise los, in 2-3 Tagen löse ich dann auf und überlasse jemand anderem das Feld.

• Das Definitionsgebiet ist größer als dargestellt
  
• (möglicherweise ) Verwendete Funktionen: Tangens, Quadratwurzel, Exponentialfunktion; sowie deren Umkehrfunktionen
  
• [tex]\white a = \tan\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)[/tex]
  
• Die gesuchte Funktion ist eine simple Hintereinanderausführung von 5 Funktionen aus der obigen Liste, wobei Wiederholungen nicht ausgeschlossen sind. Insbesondere treten also keine weiteren Operanden ([tex]\white +,-,\cdot,/[/tex]) auf.

[Feylamia]

Ihr seid ekelhaft.

Gez.
Buchstabenmensch

[Calesca]

42?

Obwohl ich Knobeleien echt gern mag, steh ich solchen Funktionen einfach nur hilflos gegenüber. Da könnt ihr mir sonstwas vom Spatz erzählen
Oder, um es anders auszudrücken: Freaks!

[Peridor]

Hmm...Ich kann ja mal auflisten, was mir so auf den ersten Blick auffällt bzw. aufzufallen scheint

• f ist symmetrisch
  
• [tex]\white \bold f(1) = 0[/tex]
  
• [tex]\white \bold f(x) = ln(x), 0 < x < tan(\sqrt{\frac{\pi}{2}})[/tex]
  
• [tex]\white \bold f(x) = \exp(x), x \geq tan(\sqrt{\frac{\pi}{2}})[/tex]
  

Naja, ist schon spät

[Hupf]

Jetzt habe ich den Faden hier schon wieder komplett vergessen Da meine Funktionentheorievorlesung schon wieder ein paar Jahre zurückliegt, mache ich mich aber noch nicht gleich an die Lösung der neuen Aufgabe. Zu meinem schicken Plot da oben also ein möglicher Lösungsweg:

• Die recht eigenwillige Wahl von [tex]\white a[/tex] könnte einen ersten Hinweis auf die Struktur der Funktion liefern (ich bin ja nicht soo fies ). Wir formen also um: [tex]\white a=\tan\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) \Rightarrow \arctan^2(a)=\frac{\pi}{2}[/tex] und nehmen damit einfach mal an, dass [tex]\white f(x)=g\bigl(\arctan^2(x)\bigr)[/tex] mit einer einfacheren Funktion g ist.
  
• Als nächstes weiß manâ„¢, dass [tex]\white \tan\left(\frac{\pi}{2}\right)[/tex] nicht existiert (Schlimme Dinge, [tex]\white \pm\infty[/tex], Grenzübergänge usw.), wir probieren also erstmal frech [tex]\white f(x)=g\left(\tan\bigl(\arctan^2(x)\bigr)\right)[/tex], dabei habe ich g umbezeichnet, so dass sie weiterhin den noch fehlenden Rest bezeichnet.
  
• Schauen wir nun einmal, was wir bisher haben. Dazu lassen wir g weg (sie sei also die identische Abbildung) und sehen uns die Grenzwerte an. Der in [tex]\white a[/tex] sieht schon mal gut aus, nur wird bisher noch [tex]\white f(0)=0[/tex]. Eine Funktion, die aus der 0 ein [tex]\white -\infty[/tex] macht und im Unendlichen selbst beliebig groß wird ist der Logarithmus. Schreiben wir also versuchsweise [tex]\white f(x)=\log\left(\tan\bigl(\arctan^2(x)\bigr)\right)[/tex].
  
• Plotten wir nun diese Funktion, so sieht sie der gesuchten doch schon verdächtig ähnlich. Mit ein bisschen Knobelei, den verbliebenen (wir nehmen wieder an, dass ich nett war und jede doch nur einmal verwendet habe) und unter Beachtung der Grenzwertüberlegungen findet man schließlich heraus, dass die Funktion
  
  [tex]\yellow f(x)=\log\left(\sqrt{\tan\bigl(\arctan^2(x)\bigr)}\right)[/tex]
  die gesuchten Eigenschaften erfüllt und mit dem gegebenen Plot deckungsgleich ist.
  

[araffi]

Mann war das einfach, da hätte ja jeder draufkommen können!

[TeraBlight]

Geographisches

1. 1. Binde ein Seil stramm um den Aequator. Um wieviel musst Du das Seil verlaengern, um es ueberall um einen Meter anheben zu koennen?
      
   2. Nimm das verlaengerte Seil und zieh es an einem Punkt so weit wie moeglich von der Erde weg (d.h. so dass es groesstenteils wieder stramm an der Erde anliegt). Wie weit ist "so weit wie moeglich"?
      
2. 1. An welchem Ort (welchen Orten?) auf der Erde kann man eine Meile nach Norden, dann eine Meilen nach Osten, dann eine Meile nach Sueden gehen, und landet wieder am Ausgangspunkt?
      
   2. Geh von irgendeinem Punkt am Aequator immer nach Nordosten. Kommst Du zum Nordpol? Wenn ja, wie weit bist Du gelaufen?

ps: Ich hab' diese schon mal in einem anderen Forum gepostet (per google zu finden), falls jemand die Antworten sofort haben will.

pps: Falls meine Beschreibungen zu unklar sein solltet, meldet Euch und ich male Bilder.

[Edvard]

Ohne jetzt groß gerechnet zu haben, sondern nur per (kurzer ) Überlegung:

2a:

Spoiler

Südpol? (Auch wenn man mMn Wurzel aus 2 Meilen nach Süden gehen müsste)

2b:

Spoiler

Nein. (Bei angenommener Kugelform und wirklich geradem Gehen^^)

Die 1er ist mir zu krass!

[TeraBlight]

Ich wuerde vorschlagen, die Antworten in

Spoiler

Spoiler

tags zu setzen, dann kann ich darauf antworten ohne anderen den Spass (hoffentlich ) zu verderben...

[Edvard]

Danke für den Hinweis.

[Rabenaas]

2a

Spoiler

2a: Südpol? (Auch wenn man mMn Wurzel aus 2 Meilen nach Süden gehen müsste)

Südpol stimmt. Wurzel aus zwei stimmt nicht. Du entfernst dich ein 1km vom Südpol. Dann bewegst Du Dich, aber nicht vom Südpol weg.

2b

Spoiler

2b: Nein. (Bei angenommener Kugelform und wirklich geradem Gehen^^)

Spirale?

[Edvard]

2a und 2b

Südpol stimmt. Wurzel aus zwei stimmt nicht. Du entfernst dich ein 1km vom Südpol. Dann bewegst Du Dich, aber nicht vom Südpol weg.

Ah ja, macht Sinn...

Spirale?

Wenn ich mich geradeaus auf einer Kugel bewege, dann sollte ich keine Spirale gehen.
Vorrausgesetzt, die Kugel dreht sich nicht, also die Corioliskraft wirkt nicht...

[TeraBlight]

Bei [...] wirklich geradem Gehen

Das Raetsel sagt "immer nach Nordosten", nicht "immer geradeaus". Ob das ein Unterschied ist, lasse ich erstmal dahingestellt. Jedenfalls ist die Formulierung, abgesehen von Feinheiten wie magnetischem vs. geographischem Pol und Achsenpraezession, sorgfaeltig gewaehlt...

Ansonsten warte ich erstmal ein bisschen, bevor ich meinen Senf dazugebe.